【整数問題】：二次式を平方完成して、式の値が０以上〔非負〕であることを突き止め、それを利用して求める値の範囲を絞る
※この記事に書いてあることは、完全に正しいとはかぎらないので、ご自身で真実をお確かめください。
【整数問題】：二次式を平方完成して、式の値が０以上〔非負〕であることを突き止め、それを利用して求める値の範囲を絞る
数学Ⅰの検定済教科書の［展開公式］［因数分解の公式］において、こんな有用な準公式であることは紹介されていない。 検定済教科書は、入試に必要な［秘密］をかくすように書かれた意地悪な本である。 こういうTipsを知っている・知らないで点差がつくような世界が、入試問題の世界なのか？ 数学とは、このように鼠小僧のようにセコい世界なのか？
立方和の公式 ($a^{3}+b^{3}$)
$a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$
立方差の公式 ($a^{3}-b^{3}$)
$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$
$a^{2} - ab + b^{2}$ を $a$ について平方完成する。
$a^{2} - ab + b^{2} = (a - \dfrac{1}{2}b)^{2} + \dfrac{3}{4}b^{2}$
$a^{2} - ab + b^{2}$ を $b$ について平方完成する。
$a^{2} - ab + b^{2} = (b - \dfrac{1}{2}a)^{2} + \dfrac{3}{4}a^{2}$
$a^{2} + ab + b^{2}$ を $a$ について平方完成する。
$a^{2} + ab + b^{2} = (a + \dfrac{1}{2}b)^{2} + \dfrac{3}{4}b^{2}$
$a^{2} + ab + b^{2}$ を $b$ について平方完成する。
$a^{2} + ab + b^{2} = (b + \dfrac{1}{2}a)^{2} + \dfrac{3}{4}a^{2}$
［0以上］と
［非負〔０または負の数ではない〕］は同じ概念の言い換え表現である。
［0以下］と
［非正〔０または正の数ではない〕］は同じ概念の言い換え表現である。
非負数を英訳せよ。
Non-negativeまたはNon-negative number
非負数の中身を日本語で述べよ。
正の数またはゼロ
非負整数を日本語で言い換えよ。
自然数
非正数を英訳せよ。
Non-positiveまたはNon-positive number
非正数の中身を日本語で述べよ。
負の数またはゼロ
$a + b$ と $b + a$ とが数学的に等しいことを何というか？
加法の交換法則という。またそのような性質を可換性という。
$ba^{2}$ と $a^{2}b$ とが数学的に等しいことを何というか？
乗法の交換法則という。またそのような性質を可換性という。
$a^{m}\hspace{1pt}a^{n} = a^{m} \cdot a^{n}$
$= a^{m + n}$
$(a^{m})^{n}$
$= a^{m \cdot n} = a^{m \hspace{1pt} n}$
$(ab)^{n}$
$= a^{n}\hspace{1pt}b^{n}$
$(a + b)^{2}$
$(a + b)^{2}$
$=(a + b)(a + b)$
$= aa + ab + ba + bb$
$= a^{2} + ab + ab + b^{2}$
$= a^{2} + 2ab + b^{2}$
$=(a + b)(a + b)$
$= aa + ab + ba + bb$
$= a^{2} + ab + ab + b^{2}$
$= a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$
$(a - b)^{2}$
$=(a - b)(a - b)$
$= aa - ab - ba + (-b)\cdot(-b)$
$= a^{2} - ab - ab + b^{2}$
$= a^{2} - 2ab + b^{2}$
$=(a - b)(a - b)$
$= aa - ab - ba + (-b)\cdot(-b)$
$= a^{2} - ab - ab + b^{2}$
$= a^{2} - 2ab + b^{2}$
$(a - b)(a + b)$
$(a - b)(a + b)$
$= aa + ab - ba + bb$
$= aa + ab - ab + bb$
$= a^{2} + 0 + b^{2}$
$= a^{2} + b^{2}$
$= aa + ab - ba + bb$
$= aa + ab - ab + bb$
$= a^{2} + 0 + b^{2}$
$= a^{2} + b^{2}$
$(x + a)(x + b)$
$(x + a)(x + b)$
$= xx + xb + ax + ab$
$= x^{2} + (b + a)x + ab$
$= x^{2} + (a + b)x + ab$
$= xx + xb + ax + ab$
$= x^{2} + (b + a)x + ab$
$= x^{2} + (a + b)x + ab$
$(ax + b)(cx + d)$
$(ax + b)(cx + d)$
$= ax \cdot cx + ax \cdot d + b \cdot cx + bd$
$= acx^{2} + (ad + bc)x + bd$
$= ax \cdot cx + ax \cdot d + b \cdot cx + bd$
$= acx^{2} + (ad + bc)x + bd$
三次式の乗法公式（1）
三次式の乗法公式（1）-【1】
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ が成り立つことを示す。
$(a + b)^{3}$
展開すると、
$= (a + b)(a + b)^{2}$
二次式の乗法公式を適用すると、
$= (a + b)(a^{2} + 2ab + b^{2})$
乗法の分配法則を適用すると、
$= a(a^{2} + 2ab + b^{2}) + b(a^{2} + 2ab + b^{2})$
$= aa^{2} + 2aab + ab^{2} + a^{2}b + 2abb + b^{2}b$
$= a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} + b^{3}$
項を整理すると、
$= a^{3} + 2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} + b^{3}$
$= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$
以上より、
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ が成り立つことが示された。